根据搜索结果，故宫附近的小区主要包括以下名称（综合多个来源整理）：
华裕园 北京市海淀区知名老旧小区，部分区域紧邻故宫，曾为开元区政府宿舍，2024年进行了改造升级。
景山西街、景山前街、文津街11/13号院
这些街区与故宫直接相邻，属于历史文化街区范畴，包含传统四合院建筑。
大石作胡同、雪池胡同、天庆胡同
老旧胡同类小区，部分位于故宫周边，属于北京传统居住区。
北京大学医学部学生宿舍楼南楼
位于故宫西侧，属于教育机构附属住宅区。
其他相关区域
包括北海北夹道、西什库大街74号院、博学胡同等，均与故宫存在地理位置关联。
说明
故宫周边小区多为历史建筑群，部分属于无物业管理的老旧小区（如华裕园），近年来通过政府改造提升项目改善了居住条件；
若需具体了解某小区的改造细节或居住信息，建议进一步查询相关政府公告或社区平台。